Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(T_{\vec{a}}\):

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Vì \(M\left(x;y\right)\in C\): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+5\right)^2=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x'-3\right)^2+\left(y'+6\right)^2=8\)

\(\Leftrightarrow M'\left(x';y'\right)\in\left(C'\right):\left(x-3\right)^2+\left(y+6\right)^2=8\)

Vậy ảnh của \(\left(C\right)\) là \(\left(x-3\right)^2+\left(y+6\right)^2=8\)

Ta thấy tâm vị tự \(I\left(1;-1\right)\) cũng là tâm của đường tròn \(\left(C\right)\). Do đó \(\left(C'\right),\left(C\right)\) đồng tâm

Suy ra tỉ số vị tự \(k=\frac{R'}{R}=\frac{IM}{R}=\frac{5}{4}\) thì \(\left(C'\right)\) đi qua M.

Dễ thấy bán kính của (C') bằng 4. Tâm I' của (C') là ảnh của tâm I(1;2) của (C) qua phép đồng dạng nói trên. Qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k=-2,I\) biến thành \(I_1\left(-2;-4\right)\). Qua phép đối xứng qua trục \(Ox\), \(I_1\) biến thành \(I'\left(-2;4\right)\).

Từ đó suy ra phương trình của (C') là \(\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\)

Gọi \(I\left(-1;2\right)\) là tâm đường tròn (C)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)\)

Gọi I' là ảnh của I qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{AB}\Rightarrow I'\left(1;4\right)\)

Phương trình (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến nói trên là:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=4\)